Montrer que si \(T\in L_C(F,G)\) et si \(S\in L(E,F)\), alors \(T\circ S\in L_C(E,G)\).

Par continuité de \(S\), l'image de la boule unité par \(S\) est comprise dans la boule centrée en \(0\) et de rayon \(\lVert S\rVert\).

On utilise la linéarité de \(T\) la faire permuter avec \(\lVert S\rVert\).

Et l'ensemble obtenu est d'adhérence compact par compacité de \(T\).

L'adhérence de \(T\circ S(B_E(0,1))\) est donc un fermé d'un compact dans un espace séparé, donc elle est compacte et \(T\circ S\) est compact.

Montrer que si \(T\in L_C(F,G)\) et si \(U\in L(G,H)\), alors \(T\circ U\in L_C(F,H)\).

L'image par \(U\) de \(\overline{T(B(0,1))}\) est un compact, en tant qu'image d'un compact par une fonction continue.

On utilise alors la continuité de \(U\) pour avoir une inclusion avec cet ensemble, ce qui fait que l'adhérence de l'image de la boule unité par \(U\circ T\) est compacte en tant que fermé d'un compact.

Démontrer \((i)\) :

On considère \(T\) dans l'adhérence de \(L_C(E,F)\), et \(T^\prime\) opérateur compact arbitrairement proche de \(T\).

On recouvre \(\overline{T^\prime(0,1)}\) par un nombre fini de boules de rayon \(\varepsilon\).

On a alors une inclusion avec \(T(x)\).

Cette inclusion est toujours valable en passant à l'adhérence.

D'où la précompacité, et donc la compacité de \(T\).

Montrer que si \(T\) est compact, alors \(T\) est continu.

Par définition, l'image par \(T\) de la boule unité est relativement compacte.

Elle est donc bornée.

L'image sans l'adhérence est bornée, ce qui nous permet de conclure via la caractérisation des fonctions linéaires continues.

Montrer que si \(T\) est un Opérateur linéaire compact, alors \(T\) vérifie : $$\forall (x_n)_n\in E^{\Bbb N},\quad x_n\rightharpoonup x\implies Tx_n\to x.$$

On a la convergence faible par un résultat précédent.

Puisqu'on a la convergence faible, la suite est bornée.

Par compacité de \(T\), \((Tx_n)_n\) est donc incluse dans un compact.

On a donc une sous-suite convergente (fortement.)

On conclut par unicité de la limite faible.

Montrer que pour \(x\in E\), on a : $$\lVert x\rVert=\max_{f\in E^*}\frac{\lvert f(x)\rvert}{\lVert f\rVert}$$

Il suffit de montrer que le \(\max\) est atteint par réflexivité \(\to\) ok via l'Elément conjugué dual.